Unos infinitos más grandes que otros

Mitad en respuesta al cuento de Txipi, y en parte como agradecimiento a Adrián Paenza, sin olvidarnos del inefable JosuKa, otra sobre infinitos.

Vaya por delante que no soy matemático ni pretendo serlo. Pero cuando en su día, me enteré de que no todos los infinitos eran igual de grandes, se me quedó la mosca detrás de la oreja. Vaya aquí la explicación...

En primer lugar, que nos quede claro que infinito no es un número. El 10 es un número, raíz cuadrada de pi es un número. Infinito es un concepto: un pensamiento expresado con palabras. Lo malo es que nuestra mente es finita, así que en realidad no entendemos lo que es el infinito, aunque algunos afirmen haber estado allí. Nuestra idea de infinito aparece por negación. Somos conscientes de que lo que nos rodea está delimitado, tiene "fin". Y al invertir esa proposición obtenemos algo que ni entendemos ni sabemos definir, así que le damos un nombre "negado": in-finito, que no tiene fin. Como si pudiésemos entenderlo.

Hecha esta aclaración, aún sin entender de qué vamos a hablar, introduzcamos otro concepto: el de la comparación. Ya que nuestro propósito es entender que hay infinitos más grandes que otros, primero debemos ponernos de acuerdo en como definimos que x es al menos tan grande como y.

Primera aproximación: tenemos una caja de bombones y un grupo de alumnos de primaria a los que queremos premiar por su excelente comportamiento. Caramelos nos valen igual. Los alumnos no tienen por qué ser de primaria. Pero algo hay que poner para no aburrir.

Poniéndonos en plan matemático, hablaremos del conjunto de bombones y del conjunto de alumnos. Si podemos asignar un bombón a cada alumno y que nadie se quede con las manos vacías (salvo que sea por problemas de salud o similar, pero eso no cuenta), diremos que el conjunto de bombones es al menos tan grande como el de alumnos. En matemáticas, a la cantidad de elementos de un conjunto se le llama cardinalidad: la cardinalidad del conjunto de bombones es igual o superior a la de los alumnos.

Si en vez de bombones, pensamos en los números, la cosa cambia un poco. Centrémonos en los números naturales (los de sabores y los que tengan bífidus quedan descartados por el momento). Estos números nos resultan familiares a todos, son los que obtenemos al contar. Si cuento los bombones voy contando: 1,2,3, ... y así hasta que se me acaban los bombones. Alguien me podría echar en cara (o en callo, que aquí lo que se trata es de dar el callo, no necesariamente la cara) que el 0 también es natural. Ni entro ni salgo: no nos afecta el caso del 0 (que por cierto, no es ni positivo ni negativo, ya que estamos, digámoslo).

La pregunta es: ¿cuál es la cardinalidad del conjunto de los números naturales? Para dar respuesta a esta pregunta, tendrímos que empezar a contarlos: 1,2,3, ... Y no terminarímos nunca. Contar los números naturales es un problema recurrente (o recursivo, palabra que no existe en el diccionario pero que muchos utilizamos a menudo). Por tanto, si no terminarímos nunca de contar, es porque detrás de cada natural siempre hay otro. Aquí es donde nos aparece el concepto de infinito: como nunca terminamos de contar, la cardinalidad es (debe ser) infinita.


Ahora pensemos en los números enteros, es decir, el 0, todos los naturales (1,2,3,...) y sus correspondientes "imágenes" (los negativos: -1,-2,-3, ...) ¿Cuántos números enteros hay? La respuesta parece inmediata: infinitos. Pero... ¿hay más números enteros que números naturales? La respuesta también parece inmediata, pero no lo es...

Cualquiera, a bote pronto, podría pensar que dado que por cada número natural, existe su correspondiente "imagen" negativa en los enteros, rápidamente diría: la cardinalidad de los enteros ha de ser doble a la de los naturales. Es decir, que hay más números enteros que naturales. ¿O no?

Pensemos un poco: 2*infinito = infinito por lo que ¿realmente hay el doble?

Volvamos a la técnica anterior para comparar cantidades. Si a cada número entero, le puedo asignar un natural (los enteros serían los alumnos y los naturales, los bombones) entonces podría decir tranquilamente, y sin temor a equivocarme, que hay al menos tantos naturales como enteros.

De acuerdo:

0 -> 1
1 -> 2
-1 -> 3
2 -> 4
-2 -> 5

Y así, sucesivamente.

Ajá, acabamos de demostrar que por cada número entero, hay otro natural. O lo que es lo mismo, la cardinalidad de los enteros es infinita, pero numerable. Por tanto, la cardinalidad de los naturales, y la de los enteros ¡es la misma!

Fuerte, ¡eh?

A este infinito se le considera el primero (el más pequeño) de los infinitos, y se le llama ℵ₀ (se lee alef sub cero).

Alef, por cierto, es una letra hebrea, pero lo relativo a eso queda para otro post.

Bien, pasemos entonces a los números reales. ¿Cuál es la cardinalidad de los reales? Meterme ahí es meterme en terreno cenagoso. Y este post ya va siendo demasiado infinito. La hipótesis (lo sentimos, pero no se puede demostrar que sea cierta, y ya hablaremos de ello en otro momento) del continuo afirma que el cardinal del conjunto de los reales, al que llamamos ℵ₁, es el primer cardinal que va después que ℵ₀. O lo que es lo mismo, es el siguiente infinito, más pequeño :-) La idea es intentar asignar a cada número real, un número natural. Resulta que no se puede, que hay más números reales que naturales, así que el conjunto de los reales no solo es infinito: es no-numerable (ya estamos de nuevo con las definiciones por exclusión) y además es mayor que el de los naturales.

Otro día más y mejor.

P.D.: Posteo esto provisionalmente, a falta de añadir los enlaces pertinentes.